Examen Final – Cryptographie jeudi 19 janvier 2006 Correction Exercice 1 Alice change sa cl´e RSA tous les 25 jours. Bob lui change sa cl´e tous les 31 jours. Sachant qu’Alice change sa cl´e aujourd’hui et que Bob a chang´e sa cl´e il y a trois jours, d´eterminer quand sera la prochaine fois qu’Alice et Bob changeront leur cl´e le mˆeme jour. Solution. Notons d le nombre de Le but de ce cours est une introduction a la cryptographie moderne utilis´ee dans la transmission et le stockage s´ecuris´e de donn´ees. L’accent mis sur les principes et les outils math´ematiques utilis´es (arithm´etique, alg`ebre, algo-rithmique, complexit´e, probabilit´e, th´eorie de l’information,..), ainsi que sur … Intérêt de la méthode. Tout l'intérêt du système RSA repose sur le fait qu'à l'heure actuelle il est pratiquement impossible de retrouver dans un temps raisonnable p et q à partir de n si celui-ci est très grand (ou alors, si c'est possible, les cryptanalystes qui ont trouvé la méthode la gardent secrète).Alice est donc la seule à pouvoir calculer d dans un temps court. L’arithmétique pour RSA Pour prendre en compte aussi les dernières lettres de l’alphabet, il est plus judicieux de représenté l’alphabet sur un anneau. Ce décalage est un décalage circulaire sur les lettres de l’alphabet. CRYPTOGRAPHIE 1. LE CHIFFREMENT DE CÉSAR 2 Pour déchiffrer le message de César, il suffit de décaler les lettres dans l’autre sens, D se déchiffre Exemples historiques de protocoles de cryptographie Exercice sur les propri et es de l’indice de co ncidence On travaille avec l’alphabet A= fA;B;Cg. On suppose que ces lettres apparaissent dans un texte avec les probabilit es suivantes A = 68%; B = 18%; C = 14% 1 Calculer l’indice de co ncidence du texte. 2 On applique la transformation (A, B, C) !(B, C, A) au texte. Calculer l’indice Sécurité du RSA. La sécurité de l’algorithme RSA repose sur deux conjectures. La première, considérer que pour casser le RSA et donc découvrir la clé privée, il faut factoriser le nombre n.La deuxième est de considérer que la factorisation est un problème difficile, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’algorithme rapide (de complexité polynomiale) pour résoudre cette Il repose sur un principe de substitution alphabétique inversée consistant à remplacer chaque lettre, selon la place qu’elle occupe dans l’alphabet, par la lettre occupant la même place en sens inverse. a devient donc Z, b devient Y, etc. L’atbash était utilisé dans des textes religieux tels que l’Ancien Testament et consistait davantage, pour ceux qui l’employaient, à

la cryptographie conventionnelle nécessitede facto un échange de clef secrète, entre Alice et Bob, aprioride toutes communications. En clair, Alice et Bob doivent se mettre d’accord sur la clef secrète qu’ils utiliseront. Pour effectuer ce choix, Alice et Bob doivent soit se rencontrer physiquementdans une zone sûre, soit l’un

Exemples historiques de protocoles de cryptographie Exercice sur les propri et es de l’indice de co ncidence On travaille avec l’alphabet A= fA;B;Cg. On suppose que ces lettres apparaissent dans un texte avec les probabilit es suivantes A = 68%; B = 18%; C = 14% 1 Calculer l’indice de co ncidence du texte. 2 On applique la transformation (A, B, C) !(B, C, A) au texte. Calculer l’indice Sécurité du RSA. La sécurité de l’algorithme RSA repose sur deux conjectures. La première, considérer que pour casser le RSA et donc découvrir la clé privée, il faut factoriser le nombre n.La deuxième est de considérer que la factorisation est un problème difficile, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’algorithme rapide (de complexité polynomiale) pour résoudre cette

Un système de cryptographie à clé publique repose sur la connaissance de deux Afin d'étudier la sécurité du système RSA, prenons pour acquis le fait suivant : si les compte-t-il de racines carrées de 1 (c-a-d d'éléments x tels que x2 = 1) ? Quel est l'ordre de grandeur du nombre de divisions que doit effectuer un 

C’est un système décentralisé qui se base entre autres sur des techniques de cryptographie destinées à assurer la fiabilité des échanges tout en garantissant en principe la vie privée. Qui dit système décentralisé implique qu’il n’y a pas de tierce personne par laquelle passe les informations. Ainsi seuls les individus concernés ont accès aux données vu que les données Intérêt de la méthode. Tout l'intérêt du système RSA repose sur le fait qu'à l'heure actuelle il est pratiquement impossible de retrouver dans un temps raisonnable p et q à partir de n si celui-ci est très grand (ou alors, si c'est possible, les cryptanalystes qui ont trouvé la méthode la gardent secrète). Cryptographie Vidéo — partie 1. Le chiffrement de César Vidéo — partie 2. Le chiffrement de Vigenère Vidéo — partie 3. La machine Enigma et les clés secrètes Vidéo — partie 4. La cryptographie à clé publique Vidéo — partie 5. L’arithmétique pour RSA Vidéo — partie 6. Le chiffrement RSA 1. Le chiffrement de César 1.1 Master Pro { Ing enierie Math ematique { Cryptographie Introduction a la cryptographie Notions de base Notions de base Les quatre buts de la cryptographie Con dentialit e : m ecanisme pour transmettre des donn ees de telle sorte que seul le destinataire autoris e puisse les lire. La sécurité de l’algorithme RSA repose sur deux conjectures. La première, considérer que pour casser le RSA et donc découvrir la clé privée, il faut factoriser le nombre n . La deuxième est de considérer que la factorisation est un problème difficile, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’algorithme rapide (de complexité polynomiale) pour résoudre cette question. Le but de ce cours est une introduction a la cryptographie moderne utilis´ee dans la transmission et le stockage s´ecuris´e de donn´ees. L’accent mis sur les principes et les outils math´ematiques utilis´es (arithm´etique, alg`ebre, algo-rithmique, complexit´e, probabilit´e, th´eorie de l’information,..), ainsi que sur les protocoles.

Un système de cryptographie à clé publique repose sur la connaissance de deux Afin d'étudier la sécurité du système RSA, prenons pour acquis le fait suivant : si les compte-t-il de racines carrées de 1 (c-a-d d'éléments x tels que x2 = 1) ? Quel est l'ordre de grandeur du nombre de divisions que doit effectuer un 

La cryptographie asymétrique avec RSA Un système cryptographique est dit symétrique si toute la solidité du chiffrement repose sur un secret — on l'appelle généralement « clé » — qui doit être connu à la fois de l'envoyeur et du récipiendaire. Par exemple, le chiffre dit « de César » est un système symétrique. Il s'agit de décaler chaque lettre du message d'un certain Cryptographie Robustesse du RSA La s ecurit e de ce syst eme repose sur le fait que connaissant la cl e publique (n;c), il est tr es di cile de d eterminer le nombre d, n ec essaire au d ecryptage. Il faudrait par exemple factoriser n pour trouver p et q, ce qui encore impossible a r ealiser de nos jours lorsque p …

est répartit sur 6 chapitres qui commenceront par une présentation général de la cryptographie, suivie d’une explication sur le RSA, son histoire, ses usages. Ensuite il décrira l’ensemble des compléments mathématiques nécessaire à sa réalisation puis il abordera les étapes de développement du logiciel de tchat. Ce rapport fera

Intérêt de la méthode. Tout l'intérêt du système RSA repose sur le fait qu'à l'heure actuelle il est pratiquement impossible de retrouver dans un temps raisonnable p et q à partir de n si celui-ci est très grand (ou alors, si c'est possible, les cryptanalystes qui ont trouvé la méthode la gardent secrète).